Question

3．在△ABC中，已知∠B=60°，cosC=$\frac{1}{3}$，c=4$\sqrt{2}$，求a．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC，由正弦定理可得b，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA，进而利用正弦定理即可解得a的值．

解答 解：∵∠B=60°，cosC=$\frac{1}{3}$，c=4$\sqrt{2}$，可得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=3$\sqrt{3}$，
又∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×$$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$，
∴a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{3\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{3}+2\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．