Question

13．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加．分别求在下列情况下不同的报名方法的种数：
（ I）每个项目都要有人报名；
（ II）甲、乙报同一项目，丙不报A项目；
（ III）甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同．

Answer 1

分析 （ I）每个项目都要有人报名，则有2个人参加同一个智力竞赛项目，先选2人，再全排即可，
（ II）甲、乙报同一项目，丙不报A项目，共有C₃²C₃¹=3×3=9种；
（ III）甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同，若B、C项目各有一人，若B、C项目各有两人，根据分类计数原理可得．

解答 解：（ I）每个项目都要有人报名，共有$C_4^2A_3^3=\frac{4×3}{2}×3×2×1=36$种；
（ II）甲、乙报同一项目，丙不报A项目，共有C₃²C₃¹=3×3=9种；
（ III）甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同，
若B、C项目各有一人，有$C_3^1A_2^2=6$种；
若B、C项目各有两人，有$C_4^2A_2^2=\frac{4×3}{2}×2=12$种，
所以甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同共有18种．

点评 本题考查排列、组合的运用以及分步计数原理的运用，注意认真分析条件的限制，选择对应的公式，进而求解．