Question

(1) 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．已知在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|．
(2) 某旅游景点给游人准备了这样一个游戏，他制作了“迷尼游戏板”：在一块倾斜放置的矩形胶合板上钉着一个形如“等腰三角形”的八行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙，…，第8行9个铁钉之间有8个空隙(如图所示)．东方庄家的游戏规则是：游人在迷尼板上方口放人一球，每玩一次(放入一球就算玩一次)先付给庄家2元．若小球到达①②③④号球槽，分别奖4元、2元、0元、-2元．(一个玻璃球的滚动方式：通过第1行的空隙向下滚动，小球碰到第二行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙．以后小球按类似方式继续往下滚动，落入第8行的某一个空隙后，最后掉入迷尼板下方的相应球槽内)．恰逢周末，某同学看了一个小时，留心数了数，有80人次玩．试用你学过的知识分析，这一小时内游戏庄家是赢是赔? 通过计算，你得到什么启示?

Answer 1

（1）.
(2)～B(7，)． 一小时内有80人次玩．游戏庄家通常获纯利为(2+×)80=225(元)
答：庄家当然是赢家!我们应当学会以所学过的知识为武器，劝说人们不要被这类骗子的骗术所迷惑．                               16分

试题分析：设P(x，y)，则由条件知M().由于M点在C₁上，所以
  即 
从而的参数方程为    （为参数）  4分
∴ 曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为．
所以.  8分
(2)

解：游人每玩一次，设游戏庄家获利为随机变量(元)；游人每放一球，小球落入球槽，相当于做7次独立重复试验，设这个小球落入铁钉空隙从左到右的次序为随机变量+1，
则～B(7，)．  10分
因为P(=-4)=P(=0或=7)=P(=0)+P(=7)=+=
P(=-2)=P(=1或=6)=P(=1)+P(=6)=+=
P(=0)=P(=2或=5)=P(=2)+P(=5)=+=
P(=2)=P(=3或=4)=P(=3)+P(=4)=+=
2+E=2+(-4)×+(-2)×+0×+2×=2+，   14分
一小时内有80人次玩．游戏庄家通常获纯利为(2+×)80=225(元)
答：庄家当然是赢家!我们应当学会以所学过的知识为武器，劝说人们不要被这类骗子的骗术所迷惑．                               16分
点评：综合题，本题综合考查简单曲线的参数方程、极坐标方程，独立重复试验概率计算，随机变量的分布列及数学期望。（2）作为应用问题，寓教于乐，令人生趣。对计算能力要求较高。