Question

16．设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x），g（x）=x²-ax-1，D是满足方程x²+（k-2）x+2k-1=0的两实数根分别在区间（0，1），（1，2）内的实数k的取值范围．
（1）求f（x）的极值；
（2）当a∈D时，求函数F（x）=f（x）-g（x）在区间[0，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值；
（2）求出D，求出F（x）的导数，得到F（x）的单调性，从而求出函数在闭区间上的最小值即可．

解答 解：（1）f（x）=（1+x）²-2ln（1+x），（x＞-1），
f′（x）=$\frac{2x（x+2）}{x+1}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
∴f（x）在（-1，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴f（x）_极小值=f（0）=1；
（2）设h（x）=x²+（k-2）x+2k-1，
由题意可得 $\left\{\begin{array}{l}{f（1）=k-2+2k＜0}\\{f（0）=2k-1＞0}\\{f（2）=4+2k-4+2k-1＞0}\end{array}\right.$，
由此求得$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{2}{3}$，故D=（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）；
F（x）=f（x）-g（x）=（a+2）x-2ln（1+x）+2，a∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$），
F′（x）=a+2-$\frac{2}{x+1}$=$\frac{（a+2）x+a}{x+1}$，
令F′（x）=0，解得：x=-$\frac{a}{a+2}$，
∵，a∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$），∴-$\frac{a}{a+2}$＜-1，
∴F（x）在[0，3]单调递增，
∴F（x）_最小值=F（0）=2．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．