Question

【题目】已知函数f（x）=a﹣ 为奇函数．
（1）求a的值；
（2）试判断函数f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对任意的t∈R，不等式f[t2﹣（m﹣2）t]+f（t2﹣m+1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于函数f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）；

∴a﹣ =﹣a+ ；

∴2a= ；

∴a=1

（2）解：任意x1，x2∈R，且x1＜x2；

f（x1）﹣f（x2）=1﹣ ﹣1+ ；

= ＜0；

∵x1＜x2∴0＜ ＜

∴ ＞0，

所以，f（x1）＜f（x2）；

则f（x）为R上的单调递增函数

（3）解：因为f（x）=1﹣ 为奇函数，且在R上为增函数；

所以由f（t2﹣（m﹣2）t）+f（t2﹣m+1）＞0恒成立，

得到：t2﹣（m﹣2）t＞m﹣1﹣t2 对t∈R恒成立；

化简后：2t2﹣（m﹣2）t﹣m+1＞0；

所以△=（m﹣2）2+8（m﹣1）＜0；

∴﹣2﹣2 ＜m＜﹣2+2 ；

故m的取值范围为：（﹣2﹣2 ，﹣2+2 ）

【解析】（1）直接利用奇函数的定义f（﹣x）=f（x），可求出a值；（2）直接利用函数的单调性定义证明即可；（3）利用奇函数与单调性直接转化为t2﹣（m﹣2）t＞m﹣1﹣t2 对t∈R恒成立，从而求出m的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用奇偶性与单调性的综合，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性即可以解答此题．