【题目】已知函数f(x)=ax2﹣x+2a﹣1(a>0).
(1)若f(x)在区间[1,2]为单调增函数,求a的取值范围;
(2)设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式;
(3)设函数 ,若对任意x1 , x2∈[1,2],不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:∵函数f(x)=ax2﹣x+2a﹣1(a>0)的图象是开口朝上,且以直线x= 为对称轴的抛物线,
若f(x)在区间[1,2]为单调增函数
则 ,
解得:
(2)解:①当0< <1,即a>
时,f(x)在区间[1,2]上为增函数,
此时g(a)=f(1)=3a﹣2
②当1≤ ≤2,即
时,f(x)在区间[1,
]是减函数,在区间[
,2]上为增函数,
此时g(a)=f( )=
③当 >2,即0<a<
时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,
此时g(a)=f(2)=6a﹣3
综上所述:
(3)解:对任意x1,x2∈[1,2],不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,
即f(x)min≥h(x)max,
由(2)知,f(x)min=g(a)
又因为函数 ,
所以函数h(x)在[1,2]上为单调减函数,所以 ,
①当 时,由g(a)≥h(x)max得:
,解得
,(舍去)
②当 时,由g(a)≥h(x)max得:
,即8a2﹣2a﹣1≥0,
∴(4a+1)(2a﹣1)≥0,解得
所以
③当 时,由g(a)≥h(x)max得:
,解得
,
所以a
综上所述:实数a的取值范围为
【解析】(1)若f(x)在区间[1,2]为单调增函数,则 ,解得a的取值范围;(2)分类讨论给定区间与对称轴的关系,分析出各种情况下g(x)的表达式,综合讨论结果,可得答案;(3)不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,即f(x)min≥h(x)max , 分类讨论各种情况下实数a的取值,综合讨论结果,可得答案.
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【题目】轮船从某港口将一些物品送到正航行的轮船
上,在轮船
出发时,轮船
位于港口
北偏西
且与
相距20海里的
处,并正以30海里的航速沿正东方向匀速行驶,假设轮船
沿直线方向以
海里/小时的航速匀速行驶,经过
小时与轮船
相遇.
(1)若使相遇时轮船航距最短,则轮船
的航行速度大小应为多少?
(2)假设轮船的最高航速只能达到30海里/小时,则轮船
以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船
相遇,并说明理由.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N.
(1)求an,bn;
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
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【题目】已知椭圆(
)的离心率是
,过点
的动直线与椭圆相交于
,
两点,当直线
平行于
轴时,直线
被椭圆截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)当时,求直线
的方程;
(3)记椭圆的右顶点为,点
(
)在椭圆上,直线
交
轴于点
,点
与点
关于
轴对称,直线
交
轴于点
.问:
轴上是否存在点
,使得
(
为坐标原点)?若存在,求点
坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】已知全集U=R,函数f(x)=lg(4﹣x)﹣ 的定义域为集合A,集合B={x|﹣2<x<a}.
(1)求集合UA;
(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.
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【题目】已知椭圆:
,双曲线
:
,若以
的长轴为直径的圆与
的一条渐近线交于A、B两点,且椭圆
与该渐近线的两交点将线段AB三等分,则
的离心率是( )
A. B. 3 C.
D. 5
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【题目】已知函数f(x)=a﹣ 为奇函数.
(1)求a的值;
(2)试判断函数f(x)在(﹣∞,+∞)上的单调性,并证明你的结论;
(3)若对任意的t∈R,不等式f[t2﹣(m﹣2)t]+f(t2﹣m+1)>0恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】孝感车天地关于某品牌汽车的使用年限(年)和所支出的维修费用
(千元)由如表的统计资料:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
2.1 | 3.4 | 5.9 | 6.6 | 7.0 |
(1)画出散点图并判断使用年限与所支出的维修费用是否线性相关;如果线性相关,求回归直线方程;
(2)若使用超过8年,维修费用超过1.5万元时,车主将处理掉该车,估计第10年年底时,车主是否会处理掉该车?
()
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