Question

已知定点B（0，2），直线l是双曲线x²-y²=-2位于x轴下方的准线，D是直线l上一动点，

AD

=

DC

=（

3

，0）
（1）当D在直线l上移动时，求线段AB与AC垂直平分线交点P的轨迹E的方程；
（2）过定点F（0，

3

2

）作互相垂直的直线l₁，l₂分别交轨迹E于M、N和R、Q，求四边形MRNQ的面积的最小值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由题意可得，直线l的方程为y=-1，设点D（m，-1），由

AD

=

DC

=（

3

，0），可得点A和点C的坐标，求得AB的垂直平分线方程，再把x=m代入，求得交点P的轨迹E的方程．
（2）设直线l₁的方程为y=kx+

3

2

，则l₂的方程为y=-

1

k

x+

3

2

．把直线l₁的方程和轨迹E的方程联立方程组，求得弦长|MN|的值．同理求得|PQ|，根据四边形MRQN=

1

2

|MN|•|RQ|，利用基本不等式求得四边形MRNQ的面积的最小值．

解答： 解：（1）由题意可得，直线l的方程为y=-1，设点D（m，-1），由

AD

=

DC

=（

3

，0），
可得点A（m-

3

，-1），点C（

3

+m-1）．
线段AC的垂直平分线方程为x=m，且AB的垂直平分线方程为y-

1

2

=

m- 3

2

（x-

m- 3

2

），
把x=m代入上式可得x²=6y，交点P的轨迹E的方程．
（2）由轨迹E的图形可得直线l₁，l₂的斜率都存在，且不为零，设直线l₁的方程为y=kx+

3

2

，
则l₂的方程为y=-

1

k

x+

3

2

．
由

y=kx+ 3 2 x2=6y

，求得 x²-6kx-9=0，由于△=36k²+36＞0，故直线l₁与轨迹E交于两点 M（x₁，y₁）、N（x₂ y₂），
且 x₁+x₂=6k，x₁•x₂=9，∴|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=6（k²+1）．
同理可得，|PQ|=6（

1

k2

+1），∴四边形MRQN=

1

2

|MN|•|RQ|=18（k²+

1

k2

+2）≥72，当且仅当k²=

1

k2

时，取等号，
故四边形MRNQ的面积的最小值为72．

点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，求点的轨迹方程，直线和圆锥曲线相交的性质，韦达定理、弦长公式、基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．