Question

12．已知函数f（x）=$\frac{2lnx+（x-m）^{2}}{x}$，若存在x∈（1，2]，使得f′（x）x+f（x）＞0，则实数m的取值范围是（-∞，$\frac{5}{2}$）．

Answer 1

分析 对f（x）求导，确定出不等式的等价结论为二次函数大于0，从而确定出m的范围．

解答 解：∵f（x）=$\frac{2lnx+（x-m）^{2}}{x}$，
∴f（x）定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2lnx+2{-m}^{2}}{{x}^{2}}$，
构造函数h（x）=xf（x），
∴h′（x）=f′（x）•x+f（x）=$\frac{{2x}^{2}-2mx+2}{x}$＞0对存在x∈[1，2]成立，
∴存在x∈[1，2]使得：x²-mx+1＞0，
令g（x）=x²-mx+1，
∴g（1）＞0或g（2）＞0即可，
m＜2或m＜$\frac{5}{2}$，
∴m＜$\frac{5}{2}$，
故答案为：（-∞，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查函数求导，以及不等式的等价变换问题．