Question

【题目】已知函数f(x)＝log2(1－x)，g(x)＝log2(x＋1)，设F(x)＝f(x)－g(x)．

(1)判断函数F(x)的奇偶性；

(2)证明函数F(x)是减函数．

Answer 1

【答案】（1）奇函数．（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先研究函数定义域，关于原点对称，再研究F(－x)与F(x)关系：相反，根据奇函数定义确定奇偶性（2）根据定义，作差，根据对数性质进行化简，再比较真数大小，确定差的符号，最后根据减函数定义进行判断.

试题解析：(1)F(x)＝f(x)－g(x)＝log2(1－x)－log2(x＋1)＝log2.

由得－1＜x＜1.∴函数F(x)的定义域为(－1,1)．

∴函数F(x)的定义域关于原点对称，

又∵F(－x)＝log2＝－log2＝－F(x)．

∴函数F(x)为奇函数．

(2)由(1)知函数F(x)的定义域为(－1,1)，

任取－1＜x1＜x2＜1，则log2()－log2()＝log2＝log2()，

又(1－x1＋x2－x1x2)－(1＋x1－x2－x1x2)＝2(x2－x1)＞0，所以＞1，

所以log2()－log2()＞0，即log2()＞log2()，

所以函数F(x)是减函数．