Question

已知a，b为常数，a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有二个相等的实数解．
（1）求f（x）的解析式．
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）值域．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=0，可得 4a+2b=0 ①．由方程 f（x）=x即ax²+（b-1）x=0有二个相等的实数解，且a≠0．可得△=0 ②． 由①、②解得b和a的值，可得 f（x）的解析式．
（2）由（1）知 f（x）=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，再利用二次函数的性质求得当x∈[1，2]时，f（x）的值域．

解答：解：（1）由f（2）=0，可得 4a+2b=0 ①．
方程 f（x）=x 即 ax²+bx=x，即 ax²+（b-1）x=0有二个相等的实数解，且a≠0．
∴△=（b-1）²-4a=0 ②．
由①、②解得 b=1，a=-

1

2

，
∴f（x）=-

1

2

x²+x．
（2）由（1）知 f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，
对称轴x=1开口向下，在[1，2]上是减函数，故当x=1时，y=

1

2

为最大值；  当x=2时，y=0为最小值．
故当x∈[1，2]时，f（x）的值域为[0，

1

2

]．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，利用二次函数的性质求函数的值域，属于中档题．