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已知ab为常数,a?0,函数

1)若a=2b=1,求在(0)内的极值;

2)①若a>0b>0,求证:在区间[12]上是增函数;

②若,且在区间[12]上是增函数,求由所有点形成的平面区域的面积.

 

【答案】

1,(2)①详见解析,②

【解析】

试题分析:(1)求具体函数极值问题分三步,一是求导,二是求根,三是列表,关键在于正确求出导数,即;求根时需结合定义区间进行取舍,如根据定义区间舍去负根;列表时需注意导数在对应区间的符号变化规律,这样才可得出正确结论,因为导数为零的点不一定为极值点,极值点附近导数值必须要变号,(2)①利用导数证明函数单调性,首先要正确转化,如本题只需证到在区间[12]成立即可,由得只需证到在区间[12],因为对称轴在区间[12]上单调增,因此只需证,而这显然成立,②中条件“在区间[12]上是增函数”与①不同,它是要求在区间[12]上恒成立,结合二次函数图像可得关于不等关系,再考虑可得可行域.

试题解析:1: 2

, ,

(舍去) 4

, 是减函数,

, 是增函数

所以当, 取得极小值为 6

2

① 证明: 二次函数的图象开口向上,

对称轴 8

对一切恒成立.

对一切恒成立.

函数图象是不间断的,

在区间上是增函数. 10

②解:

在区间上是增函数

恒成立.

恒成立.

12

(*)(**)的条件下,

恒成立.

综上,满足的线性约束条件是 14

由所有点形成的平面区域为 (如图所示),

其中

的面积为. 16

考点:求函数极值,二次函数恒成立,线性规划求面积.

 

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2)①若a>0b>0,求证:在区间[12]上是增函数;

②若,且在区间[12]上是增函数,求由所有点形成的平面区域的面积.

 

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