Question

如图，在△ABC中，|

BC

|=3

2

，|

CA

|=4，|

AB

|=2

3

，PQ是以A为圆心，

2

为半径的圆的直径，求

BP

•

CQ

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：利用余弦定理求出A的余弦函数值，利用向量三角形法则转化

BP

•

CQ

为已知向量的关系，确定

CB

与

AP

方向相同或相反时，求出数量积的最值．

解答：解：在△ABC中，cosA=

42+(2 3 )2-(3 2 )2

2×4×2 3

=

5

8 3

-----------（2分）

BP

•

CQ

=(

AP

-

AB

)•(

AQ

-

AC

)=(

AP

-

AB

)•(-

AP

-

AC

)
=-

AP

2+(

AB

-

AC

)

•AP

+

AB

•

AC

=-

AP

2+

CB

•AP

+

AB

•

AC

--------（6分）
∵

AP

2=2，

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA
=4×2

3

×

5

8 3

=5----------（8分）
∴

BP

•

CQ

=-2+

CB

•

AP

+5=3+|

CB

|•|

AP

|cosθ
=3+3

2

×

2

cosθ=3+6cosθ---（10分）
当

CB

与

AP

方向相同时，

BP

•

CQ

取得最大值9，此时

PQ

与

BC

的方向相同；------（11分）
当

CB

与

AP

方向相反时，

BP

•

CQ

取得最小值-3，此时

PQ

与

BC

的方向相反------（12分）

点评：本题考查向量数量积的应用，向量在几何中的应用，考查转化思想以及计算能力．