Question

【题目】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．

（1）求证：AE⊥B1C；

（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；

（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由BB1⊥面ABC及线面垂直的性质可得AE⊥BB1，由AC=AB，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE⊥BC，结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥面BB1C1C，进而由线面垂直的性质得到AE⊥B1C；

（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，根据异面直线夹角定义可得，∠E1A1C是异面直线A与A1C所成的角，设AC=AB=AA1=2，解三角形E1A1C可得答案．

（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP⊥平面ACC1A1，进而由二面角的定义可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．

证明：（1）因为BB1⊥面ABC，AE面ABC，所以AE⊥BB1

由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC

∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C

∴AE⊥B1C

解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，

则AE∥A1E1，

∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角．

设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°，

可得A1E1=AE=，A1C=2，E1C1=EC=BC=

∴E1C==

∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C==

所以异面直线AE与A1C所成的角为．

（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC

又∵平面ABC⊥平面ACC1A1

∴EP⊥平面ACC1A1

而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．

∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．

由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==

所以二面角C-AG-E的平面角正切值是