Question

【题目】已知椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，过椭圆的右顶点任意作直线，交抛物线于，两点，且，其中为坐标原点.

（1）试求椭圆的方程；

（2）过椭圆的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点、、、，试求四边形的面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：结合题意得，联立直线与椭圆方程，结合算出椭圆方程讨论斜率不存在和为零的情况，然后联立直线与椭圆方程，结合弦长公式和面积公式进行计算。

解析：（1）∵双曲线的焦点为，

∴椭圆中，，可知其右顶点为，

设直线的方程为，同联立整理，

可得.

设，，，.

由，可知，

即，可知.

∴，.

可知椭圆的方程为.

（2）易知左焦点.

①当直线，中的一条直线的斜率不存在时，可知；

②当直线，的斜率均存在且不为零时，设的直线方程为，与椭圆方程联立化简得.

设，，

，.

可知

.

将用代换可得，

.

∵（当且仅当时，取等号），

∴.

∴，

可得.

综合可知面积的取值范围为.