Question

【题目】如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使平面平面.

（Ⅰ）若，在折叠后的线段上是否存在一点，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在存在一点，且，使平面.

（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）折叠后，连结，得，进而得平面，再由，，得到平面平面，进而得平面，即可得到结论；

（Ⅱ）根据题意得时，取是最大值，再由（Ⅰ）可以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得平面和的的法向量，利用向量的夹角公式即可求解二面角的余弦值.

试题解析：

（Ⅰ）在折叠后的图中过作，交于，过作交于，连结，在四边形中，，，所以.

折起后，，

又平面平面，平面平面，所以平面.

又平面，所以，所以，，，

因为，，所以平面平面，因为平面，所以平面.

所以在存在一点，且，使平面.

（Ⅱ）设，所以，，

故

所以当时，取是最大值.

由（Ⅰ）可以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则

，，，，所以，，，，设平面的法向量，

则即

令，则，，则，

设平面的法向量，

则即

令，则，，则

所以.

所以二面角的余弦值为