Question

19．记max{m，n}表示m，n中的最大值，如max$\left\{{3，\sqrt{10}}\right\}=\sqrt{10}$．已知函数f（x）=max{x²-1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，ax²+x}．
（1）求函数f（x）在$[{\frac{1}{2}，1}]$上的值域；
（2）试探讨是否存在实数a，使得g（x）＜$\frac{3}{2}$x+4a对x∈（1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）构造函数F（x）=x²-1-lnx，对其求导，及最小值，从而得到f（x）的解析式，进一步求值域即可．
（2）分别对a≤0和a＞0两种情况进行讨论，得到g（x）的解析式，进一步构造h（x），通过求导得到最值，得到满足条件的a的范围．

解答 解：（1）设$F（x）={x^2}-1-2lnx，F'（x）=2x-\frac{2}{x}=\frac{{2（{x-1}）（{x+1}）}}{x}$，…（1分）
令F'（x）＞0，得x＞1，F（x）递增；令F'（x）＜0，得0＜x＜1，F（x）递减，…（2分）
∴F（x）_min=F（1）=0，∴F（x）≥0，…（3分）
即x²-1≥2lnx，∴f（x）=x²-1…（4分）
故函数f（x）在$[{\frac{1}{2}，2}]$上的值域为$[{-\frac{3}{4}，3}]$…（5分）
（2）①当a≤0时，
∵x∈（1，+∞），∴x+lnx-（ax²+x）=lnx-ax²＞0，∴x+lnx＞ax²+x，∴g（x）=x+lnx…（6分）
若$g（x）＜\frac{3}{2}x+4a$，对x∈（1，+∞）恒成立，则$lnx-\frac{1}{2}x＜4a$对x∈（1，+∞）恒成立，
设$h（x）=lnx-\frac{1}{2}x$，则$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=\frac{2-x}{2x}$，
令h'（x）＞0，得1＜x＜2，h（x）递增；令h'（x）＜0，得x＞2，h（x）递减．
∴h（x）_max=h（2）=ln2-1，∴4a＞ln2-1，∴$a＞\frac{ln2-1}{4}$，∵a≤0，∴$a∈（{\frac{ln2-1}{4}，0}]$…（9分）
②当a＞0时，由（1）知$x+lnx＜\frac{3}{2}x+4a$，对x∈（1，+∞）恒成立，
若$g（x）＜\frac{3}{2}x+4a$对x∈（1，+∞）恒成立，则$a{x^2}+x＜\frac{3}{2}x+4a$对x∈（1，+∞）恒成立，
即2ax²-x-8a＜0对x∈（1，+∞）恒成立，这显然不可能．
即当a＞0时，不满足$g（x）＜\frac{3}{2}x+4a$对x∈（1，+∞）恒成立，…（11分）
故存在实数a，使得$g（x）＜\frac{3}{2}x+4a$对x∈（1，+∞）恒成立，且a的取值范围为$（{\frac{ln2-1}{4}，0}]$…（12分）

点评 本题考查了导数的综合应用，利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值，及函数恒成立问题，属于难题．