Question

11．已知函数$f（x）=\frac{m}{x}+lnx$，g（x）=x³+x²-x．
（Ⅰ）若m=3，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若对于任意的s，$t∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;2}]$，都有$f（s）≥\frac{1}{10}g（t）$，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）问题转化为对任意$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;2}]$，$f（x）=\frac{m}{x}+{lnr}≥1$恒成立，得到m≥x-xlnr，令h（x）=x-xlnr，根据函数的单调性判断即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
m=3时，$f（x）=\frac{3}{x}+lnx$，$f'（x）=-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-3}{x^2}$，f'（3）=0，
∴x＞3，f'（x）＞0，f（x）是增函数，
0＜x＜3，f'（x）＜0，f（x）是减函数．
∴f（x）有极小值f（3）=1+ln3，没有极大值．…（5分）
（Ⅱ）g（x）=x³+x²-x，g'（x）=3x²+2x-1
当$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;2}]$时，g'（x）＞0，
∴g（x）在$[{\frac{1}{2}\;，\;\;2}]$上是单调递增函数，g（2）=10最大，…（7分）
对于任意的s，$t∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;2}]$．$f（s）≥\frac{1}{10}g（t）$恒成立，
即对任意$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;2}]$，$f（x）=\frac{m}{x}+{lnr}≥1$恒成立，∴m≥x-xlnr，…（9分）
令h（x）=x-xlnr，则h'（x）=1-lnx-1=-lnr．
∴当x＞1时，h'（x）＜0，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，
∴h（x）在（0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，
当$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;2}]$时，h（x）最大值为h（1）=1，…（11分）
∴m≥1即m∈[1，+∞）．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．