Question

8．圆x²+y²+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0（a＞0，b＞0）对称，则$\frac{1}{a}$$+\frac{3}{b}$的最小值是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{20}{3}$
• C． 4
• D． $\frac{16}{3}$

Answer 1

分析 求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可．

解答 解：∵圆x²+y²+2x-6y+1=0?（x+1）²+（y-3）²=9，
圆x²+y²+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0（a＞0，b＞0）对称，
∴该直线经过圆心（-1，3），
把圆心（-1，3）代入直线ax-by+3=0（a＞0，b＞0），得：-a-3b+3=0
∴a+3b=3，a＞0，b＞0
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$）（a+3b）=$\frac{1}{3}$（10+$\frac{3b}{a}$+$\frac{3a}{b}$）≥$\frac{16}{3}$，
当且仅当$\frac{3b}{a}$=$\frac{3a}{b}$时取得最小值，
故选：D．

点评 本题考查代数和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和均值定理的合理运用．