Question

数列{a_n}各项均为正数，S_n为其前n项和，a₁=-1，对于n∈N⁺．总有a_n²，2S_n，a_n+1²成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若数列{b_n}的前n项和T_n=2a_n-b，求证：b_n=2-

1

2n-1

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据a_n²，2S，a_n+1²成等比数列结合a_n＞0得到2S_n=a_na_n+1，由此得到a_n+1-a_n-1=2．说明数列的奇数项和偶数项均构成等差数列，得到数列{a_n}是首项为1公差为1的等差数列．则数列的通项公式可求；
（2）把{a_n}的通项公式代入T_n=2a_n-b_n，整理后构造等比数列{b_n-2}，求出其通项公式后得答案．

解答： 解：（1）由a_n²，2S_n，a_n+1²成等比数列，得4Sn2=an2an+12．
又a_n＞0，∴2S_n=a_na_n+1，则2a₁=a₁a₂，
又a₁=1，∴a₂=2．
当n＞1时，2S_n-1=a_n-1a_n．
∴2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），即a_n+1-a_n-1=2．
∵a₁=1，a₂=2，
∴a₁，a₃，a₅，…成首项为1，公差为2的等差数列．
a₂，a₄，a₆，…成首项为2公差为2的等差数列．
∴数列{a_n}是首项为1公差为1的等差数列．
∴a_n=n；
（2）∵T_n=2a_n-b_n=2n-b_n，
∴b₁=2-b₁，b₁=1．
n＞1时，T_n-1=2（n-1）-b_n-1，
∴b_n=2-b_n+b_n-1，
2b_n=2+b_n-1，
∴2（b_n-2）=b_n-1-2．
∴{b_n-2}是首项为1-2=-1，公比为

1

2

的等比数列．
∴bn-2=-(

1

2

)n-1．
则bn=2-

1

2n-1

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系和等比关系的确定，训练了数列构造法，是中档题．