Question

与曲线x²=（3-y）（y-1）相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有

 

条．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：曲线为x²+（y-2）²=1，当所求直线的方程的截距为0时，直线过原点，显然有两条直线满足题意；当截距不为0时，设所求直线的方程为：x+y=a（a≠0），满足题意的直线有2条．由此得到满足题意的直线有4条．

解答： 解：∵x²=（3-y）（y-1），
∴x²+（y-2）²=1，
当所求直线的方程的截距为0时，直线过原点，显然有两条直线满足题意；
当截距不为0时，设所求直线的方程为：x+y=a（a≠0）
由圆的方程得到：圆心坐标为（0，2），圆的半径为r=1，
则圆心到直线的距离d=

|a-2|

2

=r=1，
即（a-2）²=2，
解得a=2±

2

，满足题意a的值有2个，所以满足题意的直线有2条．
综上，满足题意的直线有4条．
故答案为：4．

点评：本题考查满足条件的直线的条数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．