Question

已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[

1

e

，e]上的最小值；
（3）若关于x的方程f（x）=2x³-3x²在区间[

1

2

，2]上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程；
（2）求导函数，确定函数在（0，e^-a）上单调递减，在（e^-a，+∞）上单调递增，分类讨论，即可求最值；
（3）问题等价于a=2x²-3x+1-lnx在区间[

1

2

，2]上有两个不相等的实数根，构造函数，确定单调性，求出函数值，即可得出结论．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=xlnx，则求导函数，可得f′（x）=lnx+1．
x=1时，f′（1）=1，f（1）=0，
∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x-1，即x-y-1=0
（2）f′（x）=lnx+a=0，可得x=e^-a，则函数在（0，e^-a）上单调递减，在（e^-a，+∞）上单调递增，
若e＜e^-a，则函数f（x）在区间[

1

e

，e]上的最小值为f（e）=ae；
若

1

e

≤e^-a≤e，则函数f（x）在区间[

1

e

，e]上的最小值为f（e^-a）=-e^-a；
若

1

e

＞e^-a，则函数f（x）在区间[

1

e

，e]上的最小值为f（

1

e

）=

a

e

；
（3）f（x）=2x³-3x²等价于xlnx+（a-1）x=2x³-3x²，即lnx+（a-1）=2x²-3x，
∴a=2x²-3x+1-lnx在区间[

1

2

，2]上有两个不相等的实数根，
令g（x）=2x²-3x+1-lnx，则g′（x）=4x-3-

1

x

=

(4x+1)(x-1)

x

∵x∈[

1

2

，2]，
∴函数在[

1

2

，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
∵g（

1

2

）=ln2，g（1）=0，g（2）=3-ln2，
∴a=2x²-3x+1-lnx在区间[

1

2

，2]上有两个不相等的实数根，应满足0＜a≤ln2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，把问题正确转化和熟练应用导数得出函数的单调性是解决问题的关键．