Question

已知定点A（4，0）和圆M：x²+y²=

9

4

（1）设点B是圆M上的动点，点P分

AB

之比为2：1，求点P的轨迹方程；
（2）设Q为直线x=3上的动点，过Q向圆M做切线，设切点为N，求QN的最小值；
（3）将（1）所求得的点P的轨迹按向量

a

=（

2

3

，3）平移得轨迹C，从轨迹C外一点R（x₀，y₀）向轨迹C作切线RT，T是切点，且RT=RO（O为坐标原点），求RT的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设P点坐标（x，y），B点坐标（

3

2

cosα，

3

2

sinα），利用P分

AB

之比为2：1，确定坐标之间的故选，即可得到点P的轨迹方程；
（2）QN的最小时，MQ最小，此时MQ⊥直线x=3；
（3）按照向量

a

=（

2

3

，3）平移后，轨迹C还是一个圆，方程为C：（x-2）²+（y-3）²=1．设出R点坐标，求得R的轨迹，再把RT的值转化为RO的值，由点到直线的距离公式求解原点到直线的距离，可得RT|的最小值．

解答： 解：设P点坐标（x，y），B点坐标（

3

2

cosα，

3

2

sinα），则
∵P分

AB

之比为2：1，
∴（x-4，y）=2（

3

2

cosα-x，

3

2

sinα-y），
即3x-4=3cosα，3y=3sinα，
故点P的轨迹方程为（3x-4）²+9y²=9，即：（x-

4

3

）²+y²=1；
（2）QN的最小时，MQ最小，此时MQ⊥直线x=3，MQ=3，∴QN的最小值为

32- 9 4

=

3 3

2

；
（3）按照向量

a

=（

2

3

，3）平移后，轨迹C还是一个圆，方程为C：（x-2）²+（y-3）²=1．
设R（x₀，y₀），则|RT|²=（x-2）²+（y-3）²-1²=x²+y²-4x-6y+12，
|RO|²=x²+y²．
由RT=RO，得x²+y²-4x-6y+12=x²+y²，
整理得：2x+3y-6=0．
∴点P的轨迹方程为：2x+3y-6=0；
求RT的最小值，就是求RO的最小值．
在直线2x+3y-6=0上取一点到原点距离最小，
由“垂线段最短”得，直线OR垂直直线2x+3y-6=0，
由点到直线的距离公式得：RT的最小值为：

|-6|

22+32

=

6 13

13

．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．