Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，射线OA的方程为y=

3

x（x＞0），动点P在射线OA上运动，动点Q在y轴的正半轴上运动，△QOP的面积为2

3

．
（1）求线段PQ的中点M的轨迹C方程；
（2）设R₁、R₂是曲线C上的两个动点，R₁、R₂到y轴的距离之和为1，求R₁、R₂到x轴的距离之积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：计算题,数形结合,转化思想

分析：（1）求出OA的方程，设出M（x，y），P（a，

3

a），Q（0，b），利用中点坐标公式，三角形的面积公式，消去a，b得点M的轨迹C的方程；
（2）设R₁（x₁，y₁），R₂（x₂，y₂），则x₁+x₂=1，令u=y₁y₂，化为含x₁•x₂的代数式设t=x₁•x₂（0＜t≤

1

4

），得到u关于t的函数，利用导数判断函数的单调性，由单调性求得u的最小值．

解答： 解：（1）射线OA：y=

3

x（x＞0），
设M（x，y），P（a，

3

a），Q（0，b）（a＞0，b＞0），
则a=2x，

3

a+b=2y  ①
又∵△POQ的面积为2

3

，
∴ab=4

3

  ②
联立①②消去a，b得点M的轨迹C的方程为：

3

x2-xy+

3

=0（x＞0，y＞0）；
（2）设R₁（x₁，y₁），R₂（x₂，y₂），则x₁+x₂=1，
令R₁、R₂到x轴的距离之积为u，
∴u=y1y2=

3

(x1+

1

x1

)•

3

(x2+

1

x2

)
=3(x1x2+

1

x1x2

+

x2

x1

+

x1

x2

)=3(x1x2+

2

x1x2

-2)．
令t=x₁•x₂，由x₁+x₂=1，得0＜t≤

1

4

，
∴有u=3（t+

2

t

-2），
当0＜t≤

1

4

时，u′=3-

6

t2

＜0，
∴函数u=3（t+

2

t

-2）在上单调递减，
∴当t=

1

4

时，umin=3(

1

4

+

2

1 4

-2)=

75

4

．
∴R₁、R₂到x轴的距离之积的最小值为

75

4

．

点评：本题考查了轨迹方程，利用了消参数的方法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用导数研究函数的单调性和最值，是综合性较强的题目，属中高档题．