Question

在数列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n=1-

1

an-1

 （a≥2，n∈N⁺）．
（1）求证：a_n+3=a_n；
（2）求a₂₀₁₀．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）直接利用数列递推式循环代入可证得a_n+3=a_n；
（2）由已知的首项和数列递推式求得a₂，a₃的值，直接由数列的周期性求得a₂₀₁₀的值．

解答： （1）证明：∵a_n=1-

1

an-1

，
∴a_n+3=1-

1

an+2

=

an+2-1

an+2

=

1- 1 an+1 -1

1- 1 an+1

=

- 1 an+1

an+1-1 an+1

=-

1

an+1-1

=-

1

1- 1 an -1

=an；
（2）解：∵a₁=

1

2

，a_n=1-

1

an-1

，
∴a2=1-

1

1 2

=-1，
a3=1-

1

a2

=1-

1

-1

=2，
又a_n+3=a_n，
∴a₂₀₁₀=a₃=2．

点评：本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，是中档题．