Question

交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通； T∈[4，6）轻度拥堵； T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵，晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制直方图如图所示．
（Ⅰ）这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？
（Ⅱ）从这20个路段中随机抽出的3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由频率分布直方图可知底×高频率，频率×20=个；由频率分布直方图很容易知道轻度拥堵的频率是0.3，中度拥堵的频率是0.5．
（Ⅱ）由题意知X为0，1，2，3，列出超几何分布的概率形式P（X=k）=

C k 10 C 3-k 10

C 3 20

（k=0，1，2，3），再列表求值，由此求出X的分布列及期望．

解答： 解：（Ⅰ）由直方图得：
轻度拥堵的路段落个数是（0.1+0.2）×1×20=6个，
中度拥堵的路段落个数是（0.3+0.2）×1×20=10个．
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=

C 0 10 C 3 10

C 3 20

=

2

19

，
P（X=1）=

C 1 10 C 2 10

C 3 20

=

15

38

，
P（X=2）=

C 2 10 C 1 10

C 3 20

=

15

38

，
P（X=3）=

C 3 10 C 0 10

C 3 20

=

2

19

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	2 19	15 38	15 38	2 19

EX=0×

2

19

+1×

15

38

+2×

15

38

+3×

2

19

=

3

2

．

点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查超几何分布，考查离散型随机变量的分布列的求法及数学期望，是中档题．