Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）-f（x-2）=0，当2≤x≤6时，f（x）=[（

1

2

）^|x-m|]+n，且f（8）=31，m，n均为正整数，求m，n的值．

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x+2）-f（x-2）=0得到函数为周期是4的周期函数，然后利用f（8）=31解讨论指数方程即可得到结论．

解答： 解：∵f（x+2）-f（x-2）=0，
∴f（x+2）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），
即函数的周期是4．
∴f（8）=f（4）=31，
∵当2≤x≤6时，f（x）=[（

1

2

）^|x-m|]+n，
∴f（4）=[（

1

2

）^|4-m|]+n=31，
∵m，n均为正整数，
∴当m=4时，即n=30时，方程才成立．
故m=4，n=30．

点评：本题主要考查函数周期性的应用，以及指数方程的解法，考查学生的计算能力．