Question

（2012•上饶一模）如果幂函数y=x^a（a∈R）图象经过不等式组

4x-3y+4≥0 x+y-6≤0 y≥2

表示的区域，则a的取值范围是（　　）

• A．[-1，0)∪[

  1

  2

  ，+∞)
• B．(-∞，-1]∪[

  1

  2

  ，+∞)
• C．[-1，0)∪[

  1

  2

  ，2]
• D．(-∞，-1]∪[

  1

  2

  ，2]

Answer 1

分析：作出题中不等式组所表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部．分别在a＜0和a＞0时，对函数y=x^a的单调性加以讨论，结合幂函数的特性加以推理，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：作出不等式组

4x-3y+4≥0 x+y-6≤0 y≥2

表示的区域，
为如图的△ABC及其内部，其中A（

1

2

，2），B（4，2），C（2，4）
作出函数函数y=x^a的图象，
当a＞0时，函数图象经过点B（4，2）时，表达式为y=x

1

2

，
在此基础上让a值变大时，图象在第一象限的图象变得陡峭，
因为图象总是经过点（1，1），所以曲线y=x^a必经过点（1，1）上方，
位于△ABC内部的区域，故曲线y=x^a始终经过△ABC及其内部；
当a＜0时，函数图象经过点A（

1

2

，2）时，表达式为y=x^-1，
在此基础上让a值变小时，图象在第一象限的图象也变陡峭，
由函数y=x^a为减函数，可得始终经过△ABC及其内部．
由以上的讨论，可得a≥

1

2

或a≤-1
故选B

点评：本题以幂函数的图象经过不等式组表示的平面区域为例，讨论参数a的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和幂函数的基本性质等知识，属于中档题．