【题目】已知椭圆C：
（
）的离心率为
，
，
，
，
的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为2的直线与椭圆交于
、
两点
，求直线
的方程；
（3）在
轴上是否存在一点
，使得过点的任一直线与椭圆若有两个交点
、
则都有
为定值？若存在，求出点的坐标及相应的定值.
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
（1）利用离心率和三角形
的面积列方程，由此解得
的值，进而求得椭圆的方程.（2）设出直线
的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，根据
，斜率乘积为
建立方程，解方程求得直线的方程.（3）设出过
点的直线方程，联立直线方程和椭圆的方程，消去
，化简后写出韦达定理，代入
计算，根据为定值，求得点的坐标以及相应的定值.
（1）由已知，
，又
，解得
，
∴椭圆的方程为。
（2）设直线的方程为
，则由
可得
，
即
∵∴
∴直线的方程为
即
。
（3）设
、
、
，当直线
不为轴时的方程为
，
联立椭圆方程得：
∴当且仅当
即
时
（定值）
即在轴上存在点使得为定值5
点E的坐标为
或
。经检验，
当直线
为轴时上面求出的点也符合题意。
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数，
），曲线的上点
对应的参数
，将曲线经过伸缩变换
后得到曲线
，直线
的参数方程为
（1）说明曲线是哪种曲线，并将曲线转化为极坐标方程；
（2）求曲线上的点
到直线的距离的最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】函数f(x)对任意的m，n∈R都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)<1.
（1）试判断f(x)在R上的单调性，并加以证明；
（2）若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2
（3）若关于
的不等式
在
上有解，求实数
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知圆
，点
，直线
.
（1）求与圆
相切，且与直线
垂直的直线方程；
（2）在直线
上（
为坐标原点），存在定点
（不同于点
），满足：对于圆上任一点
，都有
为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.
【答案】(1)
；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：
（1）设所求直线方程为
，利用圆心到直线的距离等于半径可得关于b的方程，解方程可得
，则所求直线方程为
（2）方法1：假设存在这样的点
，由题意可得
，则
，然后证明为常数
为即可.
方法2：假设存在这样的点，使得为常数
，则
，据此得到关于
的方程组，求解方程组可得存在点
对于圆上任一点，都有为常数.
试题解析：
（1）设所求直线方程为，即
，
∵直线与圆相切，∴
，得，
∴所求直线方程为
（2）方法1：假设存在这样的点，
当为圆与
轴左交点
时，
；
当为圆与轴右交点
时，
，
依题意，，解得，
（舍去），或.
下面证明点对于圆上任一点，都有为一常数.
设
，则
，
∴
，
从而
为常数.
方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，
∴
，将代入得，
，即
对
恒成立，
∴
，解得
或
（舍去），
所以存在点对于圆上任一点，都有为常数.
点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】已知函数
的导函数为
，其中
为常数.
（1）当
时，求的最大值，并推断方程
是否有实数解；
（2）若在区间
上的最大值为-3，求的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在平面直角坐标系
中，点
，直线
，设圆
的半径为1， 圆心在
上.
（1）若圆心也在直线
上，过点
作圆的切线，求切线方程；
（2）若圆上存在点
，使
，求圆心的横坐标
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的离心率为
，且
过点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线
与椭圆交于
两点（点均在第一象限），且直线
的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值.
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