【题目】函数f(x)对任意的m,n∈R都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)<1.
(1)试判断f(x)在R上的单调性,并加以证明;
(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2
(3)若关于的不等式在上有解,求实数的取值范围.
【答案】(1)f(x)在R上为减函数.证明见解析
(2)
(3)
【解析】
根据函数单调性的定义,结合已知条件转化证明f(x)在R上为减函数。
利用已知条件通过f(3)=4,求出,然后再利用函数的单调性解不等式f(a2+a-5)<2。
根据题意关于的不等式在上有解,法一,结合函数的单调性,可转化为有解,即有解,利用换元法,令,将其转化为一元二次不等式有解,结合二次函数的性质,进行求解即可;法二,分离参数,得到,利用换元法,令,得,结合对号函数的性质即可解出实数的取值范围。
解:(1) f(x)在R上为减函数.
证明:设x1,x2∈R,且x1<x2,
∴x2-x1>0,∵当x>0时,f(x)<1
∴f(x2-x1)<1.
f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1,
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1<0f(x1)>f(x2),
∴f(x)在R上为减函数.
(2)∵m,n∈R,不妨设m=n=1,
∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1f(2)=2f(1)-1,
f(3)=4f(2+1)=4f(2)+f(1)-1=43f(1)-2=4,
∴f(1)=2,∴f(a2+a-5)<2=f(1),
∵f(x)在R上为减函数,
∴a2+a-5>1a<-3或a>2,即a∈
(3)法一:由题意得:,因为在R上为减函数.
,即,
令,则,即在上有解,
设,因为 ,结合图像可知:
,即,解得:
法二:由题意得:,因为在R上为减函数.
,即,
令,则,在上有解,
由对勾函数可知
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【题目】已知函数f(x)=(xR),g(x)=2a-1
(1)求函数f(x)的单调区间与极值.
(2)若f(x)≥g(x)对恒成立,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】语文中有回文句,如:“上海自来水来自海上”,倒过来读完全一样。数学中也有类似现象,如:88,454,7337,43534等,无论从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,称这样的数为“回文数”!
二位的回文数有11,22,33,44,55,66,77,88,99,共9个;
三位的回文数有101,111,121,131,…,969,979,989,999,共90个;
四位的回文数有1001,1111,1221,…,9669,9779,9889,9999,共90个;
由此推测:11位的回文数总共有_________个.
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【题目】某学校900名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18 秒之间,利用分层抽样的方法抽取其中若干个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[13,14),第二组[14,15),…,第五组[17,18],有关数据见下表:
各组组员数 | 各组抽取人数 | |
[13,14) | 54 | a |
[14,15) | b | 8 |
[15,16) | 342 | 19 |
[16,17) | 288 | c |
[17,18] | d |
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若样本第一组中只有一个女生,其他都是男生,第五组则只有一个男生,其他都是女生,现从第一、五组中各抽一个同学组成一个新的组,求这个新组恰好由一个男生和一个女生构成的概率。
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【题目】为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响,某校课外兴趣小组记录了组昼夜温差与颗种子发芽数,得到如下资料:
组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
温差() | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数(颗) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
经分析,这组数据具有较强的线性相关关系,因此该小组确定的研究方案是:先从这五组数据中选取组数据求出线性回归方程,再用没选取的组数据进行检验.
(1)若选取的是第组的数据,求出关于的线性回归方程;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠?
(参考公式:,)
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【题目】如图所示,平面,点在以为直径的上,,,点为线段的中点,点在弧上,且.
(1)求证:平面平面;
(2)求证:平面平面;
(3)设二面角的大小为,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】试题分析:
(1)由△ABC中位线的性质可得,则平面.由线面平行的判断定理可得平面.结合面面平行的判断定理可得平面.
(2)由圆的性质可得,由线面垂直的性质可得,据此可知平面.利用面面垂直的判断定理可得平面平面.
(3)以为坐标原点,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系.结合空间几何关系计算可得平面的法向量,平面的一个法向量,则.由图可知为锐角,故.
试题解析:
(1)证明:因为点为线段的中点,点为线段的中点,
所以,因为平面,平面,所以平面.
因为,且平面,平面,所以平面.
因为平面,平面,,
所以平面平面.
(2)证明:因为点在以为直径的上,所以,即.
因为平面,平面,所以.
因为平面,平面,,所以平面.
因为平面,所以平面平面.
(3)解:如图,以为坐标原点,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系.
因为,,所以,.
延长交于点.因为,
所以,,.
所以,,,.
所以,.
设平面的法向量.
因为,所以,即.
令,则,.
所以.
同理可求平面的一个法向量.
所以.由图可知为锐角,所以.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知圆,点,直线.
(1)求与圆相切,且与直线垂直的直线方程;
(2)在直线上(为坐标原点),存在定点(不同于点),满足:对于圆上任一点,都有为一常数,试求所有满足条件的点的坐标.
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【题目】已知椭圆C: ()的离心率为 ,,,,的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率为2的直线与椭圆交于、两点,求直线的方程;
(3)在轴上是否存在一点,使得过点的任一直线与椭圆若有两个交点、则都有为定值?若存在,求出点的坐标及相应的定值.
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