Question

【题目】函数f(x)对任意的m，n∈R都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)<1.

（1）试判断f(x)在R上的单调性，并加以证明；

（2）若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2

（3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）f(x)在R上为减函数.证明见解析

（2）

（3）

【解析】

根据函数单调性的定义，结合已知条件转化证明f(x)在R上为减函数。

利用已知条件通过f(3)＝4，求出，然后再利用函数的单调性解不等式f(a2＋a－5)<2。

根据题意关于的不等式在上有解，法一，结合函数的单调性，可转化为有解，即有解，利用换元法，令，将其转化为一元二次不等式有解，结合二次函数的性质，进行求解即可；法二，分离参数，得到，利用换元法，令，得，结合对号函数的性质即可解出实数的取值范围。

解：(1) f(x)在R上为减函数.

证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，

∴x2－x1＞0，∵当x＞0时，f(x)<1

∴f(x2－x1)<1.

f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1<0f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在R上为减函数.

(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，

∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1f(2)＝2f(1)－1，

f(3)＝4f(2＋1)＝4f(2)＋f(1)－1＝43f(1)－2＝4，

∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)，

∵f(x)在R上为减函数，

∴a2＋a－5>1a＜－3或a>2，即a∈

(3)法一：由题意得：，因为在R上为减函数.

，即，

令，则，即在上有解，

设，因为 ，结合图像可知：

，即，解得：

法二：由题意得：，因为在R上为减函数.

，即，

令，则，在上有解，

由对勾函数可知