Question

1．知a，b，c，d是正实数，且abcd=1，求证：a⁵+b⁵+c⁵+d⁵≥a+b+c+d．

Answer 1

分析 由不等式的性质可得：a⁵+b+c+d≥4$\root{4}{{a}^{5}bcd}$=4a，同理可得其他三个式子，将各式相加即可得出结论．

解答 证明：∵a，b，c，d是正实数，且abcd=1，
∴a⁵+b+c+d≥4$\root{4}{{a}^{5}bcd}$=4a，
同理可得：a+b⁵+c+d≥4$\root{4}{a{b}^{5}cd}$=4b，
a+b+c⁵+d≥4$\root{4}{ab{c}^{5}d}$=4c，
a+b+c+d⁵≥4$\root{4}{abc{d}^{5}}$=4d，
将上面四式相加得：a⁵+b⁵+c⁵+d⁵+3a+3b+3c+3d≥4a+4b+4c+4d，
∴a⁵+b⁵+c⁵+d⁵≥a+b+c+d．

点评 本题考查了不等式的证明，属于中档题．