Question

16．设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．
（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）ⁿ=cosnθ+isinnθ；
（2）已知$z=\sqrt{3}-i$，试利用（1）的结论计算z¹⁰．

Answer 1

分析 （1）利用数学归纳法即可证明，注意和差公式的应用．
（2）利用（1）的结论即可得出．

解答 证明：（1）证明：1°当n=1时，左边=右边=cosθ+isinθ，所以命题成立；
2°假设当n=k时，命题成立，即（cosθ+isinθ）^k=coskθ+isinkθ，
则当n=k+1时，（cosx+isinθ）^k+1=（cosθ+isinθ）^k•（cosθ+isinθ）
=（coskθ+isinkθ）（cosθ+isinθ）
=（coskθcosθ-sinkθsinθ）+i（sinkθcosθ+coskθsinθ）
=cos（k+1）θ+isin（k+1）θ
∴当n=k+1时，命题成立；
综上，由1°和2°可得，（cosθ+isinθ）ⁿ=cosnθ+isinnθ．
（2）$z=\sqrt{3}-i$=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}i$）=2（cos$\frac{11π}{6}$+isin$\frac{11π}{6}$），
∴z¹⁰=2¹⁰（cos$\frac{110}{6}$π+isin$\frac{110}{6}$π）=2¹⁰（cos$\frac{π}{3}$+isin$\frac{π}{3}$）=2¹⁰（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）=512+512$\sqrt{3}$i

点评 本题考查了数学归纳法、复数的运算法则、模的计算公式、和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．