Question

7．已知△ABC的顶点B，C在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，椭圆的一个焦点为A，另一个焦点在边BC上，若△ABC是边长为2的正三角形，则b=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{6}$

Answer 1

分析 利用已知条件求出a，推出c，然后求解b即可．

解答 解：△ABC的顶点B，C在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，
椭圆的一个焦点为A，另一个焦点在边BC上，
若△ABC是边长为2的正三角形，∠BAC=60°．
并且BA+$\frac{1}{2}BC$=2a，AB=BC=2，即：$\frac{4a}{3}=2$，
解得a=$\frac{3}{2}$，2c=2cos30°，解得c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{\frac{9-3}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆方程的应用，椭圆的简单性质，考查计算能力．