Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=5，AC=3，AD=2，求：BC的长及面积S_△ABC．

Answer 1

分析：设BD=CD=x，在三角形ABD与三角形ACD中，利用余弦定理分别表示出cos∠ADB与cos∠ADC，根据两角互补，得到cos∠ADB+cos∠ADC=0，求出x的值，确定出BC的长，在三角形ABC中，利用余弦定理求出cosB的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，根据三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答：解：设BD=CD=x，
在△ABD和△ACD中，
cos∠ADB=

AD2+BD2-AB2

2AD•BD

，cos∠ADC=

AD2+DC2-AC2

2AD•DC

，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴cos∠ADB+cos∠ADC=0，即4+x²-25+4+x²-9=0，
解得：x=

13

，
∴BC=2

13

，
在△ABC中，cosB=

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

=

25+52-9

20 13

=

34 13

130

，
∴sinB=

1-cos2B

=

6 13

65

，
则S_△ABC=

1

2

AB•BC•sinB=6．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．