Question

边长为2等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且|BC|=3|BD|，|CA|=3|CE|，AD、BE相交于点P，则

PA

•

PC

=

 

．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：因为向量

BA

与

BC

的模长和夹角已知，所以以向量

BA

与

BC

为一组基底，再用几何性质找到BP与BE的比例关系，结合向量加减法、数乘运算结合平面向量基本定理，可以用基底将向量

PA

，

PC

表示出来，代入数量积公式，问题即可获解．

解答： 解：过点E分别作E∥BC交AD于F，作EM∥AD交BC于M；
∵|BC|=3|BD|，|CA|=3|CE|，∴

EF

DC

=

AE

AC

=

2

3

，而

BD

DC

=

1

2

，
∴

BP

PE

=

BD

EF

=

3

4

，∴BP=

3

7

BE，
∴

BP

=

3

7

BE

=

3

7

(

BC

+

.

CE

)=

3

7

(

BC

+

1

3

CA

)=

3

7

(

BC

+

1

3

(

BA

-

BC

))=

1

7

BA

+

2

7

BC

，
∴

PC

=

BC

-

BP

=

5

7

BC

-

1

7

BA

，同理得：

PA

=

6

7

BA

-

2

7

BC

，
∴

PC

•

PA

=(

5

7

BC

-

1

7

BA

)•(

6

7

BA

-

2

7

BC

)=-

6

49

BA

2-

10

49

BC

2+

32

49

BA

•

BC

=-

6

49

×4-

10

49

×4+

32

49

×4×

1

2

=0
故答案为0．

点评：这道题重点考查平面向量基本定理的应用，综合考查了平面向量的加减法、数乘运算等知识，当然利用平面几何知识找到BP与BE的关系是解决本题的关键．