Question

已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为

4π

3

的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的表面积．

解答： 解：此棱柱为正棱柱，体积

4

3

π的球体半径为1，由此可以得到三棱柱的高为2，底面正三角形内切圆的半径为1，故底面三角形高为3边长为2

3

，所以表面积S=2×

1

2

×2

3

×3+3×2

3

×2=18

3

．
故答案为：18

3

．

点评：本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．