Question

7．y=a^x（a＞1），若函数定义域值域都是（m，n），求a的取值范围．

Answer 1

分析 转化为y=a^x与y=x有2个交点，分类得出0＜a＜1时，y=a^x与y=x有1个交点，可判断a＞1，利用导数的性质求解得出a${\;}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{lna}$，a${\;}^{{x}_{0}}$=y₀=x₀，化简得出a${\;}^{\frac{1}{lna}}$=$\frac{1}{lna}$，两边取对数得出：1=-ln（lna），即可求解a的值，根据函数性质得出范围．

解答 解：∵y=a^x（a＞1），若函数定义域值域都是（m，n），
∴a^x=x在（0，+∞）有2个不等实根，
∴y=a^x与y=x有2个交点，
∵0＜a＜1时，y=a^x与y=x有1个交点，
∴可判断a＞1，
∵y=a^x与y=x相切时，切点为（x₀，y₀）
∴y′=a^xlna，
a${\;}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{lna}$，a${\;}^{{x}_{0}}$=y₀=x₀，
x₀=$\frac{1}{lna}$，y₀=$\frac{1}{lna}$，
即可得出a${\;}^{\frac{1}{lna}}$=$\frac{1}{lna}$，
两边取对数得出：1=-ln（lna），
lna=$\frac{1}{e}$，a=e${\;}^{\frac{1}{e}}$，
∴可判断：1＜a＜e${\;}^{\frac{1}{e}}$，

点评 本题综合考察了函数的性质，导数的运用，代数式的化简运算能力，属于中档题．