Question

3．已知点P是边长为2的正三角形ABC的重心，则$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）的值为（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 根据重心的性质以及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义便可得出$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，这样根据条件进行数量积的运算便可求出$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）^{2}$的值，从而得出$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$的值．

解答 解：如图，

根据条件：$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
∴$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）^{2}$
=$\frac{1}{3}（{\overrightarrow{AB}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^{2}）$
=$\frac{1}{3}（4+4+4）$
=4．
故选：D．

点评 考查三角形重心的概念及性质，向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及计算公式．