Question

1．已知函数f（x）=e^x-ax
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=1时，求f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）首先对f（x）求导，分类讨论参数a，利用导函数判断函数的单调性；
（2）利用函数的单调性判断函数的极值位置即可；

解答 解：（1）对f（x）求导，则f'（x）=e^x-a
当a≤0时，f'（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，令f'（x）=0，则导函数零点为：x=lna；
（i）当x∈（0，lna）时，f'（x）＜0，则f（x）在（0，lna）上是单调减函数；
（ii）当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0，则f（x）在（lna，+∞）上单调递增；
（2）当a=1时，f（x）=e^x-x；
有f'（x）=e^x-1；令f'（x）=0，则导函数零点为：x=0；
当x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0，则f（x）在（-∞，0）上单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
故f（x）的极小值为f（0）=1，无极大值；

点评 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性、函数极值以及分类讨论的应用，属中等题．