Question

已知函数f（x）=e^x-a（x+1）在x=ln2处的切线的斜率为1．（e为无理数，e=271828…）
（Ⅰ）求a的值及f（x）的最小值；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥mx²，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：

n

i=2

lni

i4

＜

1

2e

（i，n∈N₊）．（参考数据：ln2≈0.6931）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数与曲线的关系求得a，再利用导数判断函数的单调性求得最小值；
（2）令g（x）=f（x）-mx²，利用导数求得g（x）的最小值，即可得出结论；
（3）构造函数p（x）=

lnx

x2

，利用导数求得函数的最大值，即

lnx

x2

≤

1

2e

，故

lnn

n4

≤

1

2e

•

1

n2

（n≥2），利用不等式放缩及裂项相消法即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=e^x-a（x+1），
∴f′（x）=e^x-a，
∵函数f（x）=e^x-a（x+1）在x=ln2处的切线的斜率为1，
∴f′（ln2）=2-a=1，
∴a=1，
∴f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1，
∴x＜0时，f′（x）＜0，x＞0时，f′（x）＞0，
∴x=0时，函数有极小值，即为最小值，最小值为0；
（Ⅱ）解：令g（x）=f（x）-mx²，则g′（x）=e^x-1-2mx，
设h（x）=g′（x）=e^x-1-2mx，则h′（x）=e^x-2m，
①m≤

1

2

时，h′（x）≥0，h（x）≥h（0）=0，∴g′（x）≥0，∴g（x）≥g（0）=0，满足题意；
②m＞

1

2

时，x∈[0，ln2m）时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，h（x）≤h（0）=0，∴g（x）是减函数，∴g（ln2m）≤g（0）=0，不满足题意；
综上所述，m的取值范围是[

1

2

，+∞）．
（Ⅲ）证明：令p（x）=

lnx

x2

，∴p′（x）=

1-2lnx

x3

，由p′（x）=0得，x=

e

，
∴当x=

e

时函数P（x）有最大值p（

e

）=

1

2e

，∴

lnx

x2

≤

1

2e

，
∴

lnn

n4

≤

1

2e

•

1

n2

（n≥2），
∴

n

i=2

lni

i4

＜

1

2e

•（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＜

1

2e

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=

1

2e

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=

1

2e

（1-

1

n

）＜

1

2e

，
即

n

i=2

lni

i4

＜

1

2e

．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的切线问题、研究函数的单调性最值等知识，考查不等式的证明方法放缩法及裂项求和法，考查学生的计算能力，属难题．