Question

3．已知向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为60°，且$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=2$，若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，则实数λ的值为1．

Answer 1

分析 根据向量的数量积以及向量垂直的定义和关系建立方程关系即可得到结论．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为60°，且$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=2$，
∴向量$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|cos60°=2×2×$\frac{1}{2}$=2，
∵$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=（λ$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，
即λ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
则λ$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）+$\overrightarrow{AC}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=0，
即λ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-λ$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
则2λ-4λ+4-2=0，
2λ=2，解得λ=1，
故答案是：1．

点评 本题主要考查平面向量的数量积的应用以后平面向量的基本定理的应用，根据向量垂直的等价关系建立方程是解决本题的关键．