Question

14．若对一切实数x不等式asinx-cos²x≤3恒成立，则实数a的取值范围是[-3，3]．

Answer 1

分析 化余弦为正弦，再利用换元法把问题转化为对任意t∈[-1，1]，都有t²+at-4≤0成立，最后借助于二次函数的图象转化为关于a的不等式组求解．

解答 解：由asinx-cos²x≤3，得sin²x+asinx-4≤0，
令sinx=t（-1≤t≤1），
则问题转化为对任意t∈[-1，1]，都有t²+at-4≤0成立，
∵△=a²+16＞0，令g（t）=t²+at-4．
∴有$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=-a-3≤0}\\{g（1）=a-3≤0}\end{array}\right.$，解得-3≤a≤3．
∴实数a的取值范围是[-3，3]．
故答案为：[-3，3]．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用“三个二次”结合求解恒成立问题，是中档题．