Question

19．在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，$SA=SC=\sqrt{3}$，E，F分别为AB，SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求锐二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点O，连结OS，BO，通过证明AC⊥平面SOB得出AC⊥SB；
（2）设OB与CE交于点G，取OB中点为M，作MH⊥CE交CE于点H，连结FM，FG．证明CE⊥平面FMH，故而∠FHM为所求角，利用相似比和勾股定理计算FH，FM，得出cos∠FHM．

解答 证明：（1）取AC的中点O，连结OS，BO．
∵SA=SC，AB=AC，O是AC的中点，
∴AC⊥SO，AC⊥BO，又SO?平面SOB，OB?平面SOB，SO∩OB=O，
∴AC⊥平面SOB，又SB?平面SOB，
∴AC⊥SB．
（2）设OB与CE交于点G，取OB中点为M，作MH⊥CE交CE于点H，连结FM，FG．
∵平面SAC⊥平面ABC，AC⊥SO，平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥平面ABC，
∵FM是△SOB的中位线，
∴SO∥FM，
∴FM⊥平面BCE，又CE?平面ABC，
∴FM⊥CE，又CE⊥HM，FM?平面FMH，MH?平面FMH，FM∩MH=M，
∴CE⊥平面FMH．
∴CE⊥FH，
∴∠FHM是二面角F-CE-B的平面角．
∵△GHM∽△GEB，∴$\frac{HM}{EB}=\frac{GM}{GB}$，
∵△ABC是边长为2的正三角形，∴EB=1，BM=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，GB=$\frac{2}{3}$OB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{GH}{GB}=\frac{1}{4}$，∴$HM=\frac{1}{4}$，
∵SA=SC=$\sqrt{3}$，AC=2，∴SO=$\sqrt{2}$，
又FM=$\frac{1}{2}$SO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴FH=$\sqrt{F{M}^{2}+M{H}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴$cos∠FHM=\frac{HM}{FH}=\frac{1}{3}$，故锐二面角F-CE-B的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，二面角的作法与计算，也可使用向量法解出，属于中档题．