Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，若a、b是方程x²-2

3

x+2=0的两根，且cosAcosB-sinAsinB=

1

2

；
（1）求角C的大小；
（2）求边c的长度；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的余弦函数,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简求出A+B的值，进而确定出C的值；
（2）由a、b是方程x²-2

3

x+2=0的两根，利用韦达定理表示出a+b与ab，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形后，将a+b与ab的值代入计算即可求出c的值；
（3）由ab及sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（1）∵cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=

1

2

，
∵A+B∈（0，π），
∴A+B=

π

3

，
∴C=

2π

3

；
（2）∵a、b是方程x²-2

3

x+2=0的两根，
∴a+b=2

3

，ab=2，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab=（a+b）²-ab=10，
则c=

10

；
（3）∵ab=2，sinC=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．