Question

已知函数f（x）=x+

2a2

x

-alnx．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若a＞0时，函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，斜率及切点坐标，代入点斜式方程即可求出，
（2）先求出函数的导数，再分别讨论a＞0，a=0，a＜0的情况，从而求出单调区间，
（3）由（2）得：f（x）_min=f（2a）=a（1-ln2a），从而a（1-ln2a）＜0，解出即可．

解答： 解：（1）a=1时，f（x）=x+

2

x

-lnx，
∴f′（x）=

(x-2)(x+1)

x2

，
∴f′（1）=-2，而f（1）=3，
∴切线方程为：y-3=-2（x-1），
即：2x+y-5=0；
（2）∵f′（x）=

(x-2a)(x+a)

x2

，
①a＞0时，
令f′（x）＞0，解得：x＞2a，x＜-a（舍），
令f′（x），0，解得：0＜x＜2a，
∴f（x）在（0，2a）递减，在（2a，+∞）递增，
②a=0时，f′（x）=1＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
③a＜0时，
令f′（x）＞0，解得：x＞-a，x＜2a（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜-a，
∴f（x）在（0，-a）递减，在（-a，+∞）递增；
（3）若a＞0时，
由（2）得：f（x）_min=f（2a）=a（3-ln2a），
∵函数f（x）有两个零点，
∴a（3-ln2a）＜0，
解得：a＞

e3

2

，
∴a的取值范围是：（

e3

2

，+∞）．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，渗透了数形结合思想，是一道综合题．