Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在线段A₁B₁上，点Q在线段B₁C₁上，且B₁P=B₁Q，给出下列结论：
①A、C、P、Q四点共面；
②直线PQ与 AB₁所成的角为60°；
③PQ⊥CD₁；
④V_P-ABCD=V_Q-AA1D．
其中正确结论的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：如图所示，①由B₁P=B₁Q，可得PQ∥A₁C₁，可得A、C、P、Q四点共面；
②连接AC，CB₁，可得△ACB₁是等边三角形，可得异面直线PQ与 AB₁所成的角为60°；
③由②PQ⊥CD₁不正确；
④V_P-ABCD=

1

3

V正方体AC1，V_Q-AA1D=

1

3

×S△AA1D×A1B1=

1

3

×

1

2

S正方形AA1DD1×A₁B₁=

1

6

V正方体，即可判断出．

解答： 解：如图所示，
①∵B₁P=B₁Q，∴PQ∥A₁C₁，∴A、C、P、Q四点共面，因此正确；
②连接AC，CB₁，可得△ACB₁是等边三角形，又AC∥A₁C₁，∴直线PQ与 AB₁所成的角为60°；
③由②PQ⊥CD₁不正确；
④V_P-ABCD=

1

3

V正方体AC1，V_Q-AA1D=

1

3

×S△AA1D×A1B1=

1

3

×

1

2

S正方形AA1DD1×A₁B₁=

1

6

V正方体．
∴V_P-ABCD≠V_Q-AA1D．
其中正确结论的个数2．
故选：B．

点评：本题综合考查了正方体的有关性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．