Question

4．已知{a_n}是公差为3的等差数列，数列{b_n}满足b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系可得a₁．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出a_n，b_n．
（II）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由数列{b_n}满足b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．当n=1时，有a₁b₂+b₂=b₁，即$\frac{1}{3}{a}_{1}$+$\frac{1}{3}$=1，
∴a₁=2．
又∵{a_n}是公差为3的等差数列，∴a_n=3n-1．
由a_n=3n-1知：（3n-1）b_n+1+b_n+1=nb_n，
化简得3b_n+1=b_n，即$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{1}{3}$．
即数列{b_n}是以1为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，∴${b_n}={（\frac{1}{3}）^{n-1}}$．
（II）c_n=a_n•b_n=$（3n-1）•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
∴${T_n}=2×{（\frac{1}{3}）^0}+5×{（\frac{1}{3}）^1}+8×{（\frac{1}{3}）^2}+…+（3n-4）×{（\frac{1}{3}）^{n-2}}+（3n-1）×{（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}{T_n}=2×{（\frac{1}{3}）^1}+5×{（\frac{1}{3}）^2}+8×{（\frac{1}{3}）^3}+…+（3n-4）×{（\frac{1}{3}）^{n-1}}+（3n-1）×{（\frac{1}{3}）^n}$．
∴$\frac{2}{3}{T_n}=2×{（\frac{1}{3}）^0}+3×{（\frac{1}{3}）^1}+3×{（\frac{1}{3}）^2}+…+3×{（\frac{1}{3}）^{n-2}}+3×{（\frac{1}{3}）^{n-1}}-（3n-1）{（\frac{1}{3}）^n}$，
$\frac{2}{3}{T_n}=2+3×[{（\frac{1}{3}）^1}+{（\frac{1}{3}）^2}+…+{（\frac{1}{3}）^{n-2}}+{（\frac{1}{3}）^{n-1}}]-（3n-1）{（\frac{1}{3}）^n}$
$\frac{2}{3}{T_n}=2+3×\frac{{\frac{1}{3}[1-{{（\frac{1}{3}）}^{n-1}}]}}{{1-\frac{1}{3}}}-（3n-1）{（\frac{1}{3}）^n}$，
$\frac{2}{3}{T_n}=2+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}-（3n-1）{（\frac{1}{3}）^n}=\frac{7}{2}-（n+\frac{7}{6}）{（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，
∴${T_n}=\frac{21}{4}-\frac{3}{2}（n+\frac{7}{6}）{（\frac{1}{3}）^{n-1}}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．