Question

13．如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，且∠A₁AC=$\frac{π}{3}$，点O为AC的中点．
（1）求证：AC⊥平面A₁OB；
（2）求二面角B₁-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结A₁C，推导出A₁O⊥AC，BO⊥AC，由此能证明AC⊥平面A₁OB．
（2）以O为原点，分别以OB、OC、OA₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明二面角B₁-AC-B的余弦值．

解答 证明：（1）连结A₁C，∵AC=AA₁，∠A₁AC=$\frac{π}{3}$，AB=BC，点O为AC的中点，
∴A₁O⊥AC，BO⊥AC，
∵A₁O∩BO=O，
∴AC⊥平面A₁OB．
解：（2）∵侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，∴A₁O⊥平面ABC，∴A₁O⊥BO，
∴以O为原点，分别以OB、OC、OA₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），B₁（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，2，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，0），
设平面AB₁C的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}x+2y+\sqrt{3}z=0}\\{2y=0}\end{array}\right.$，取x=-1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，0，1），
又平面ABC的法向量为$\overrightarrow{{A}_{1}O}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{A{A}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A{A}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角B₁-AC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真认真审题，注意向量法的合理运用．