Question

【题目】设点，分别是椭圆:的左、右焦点，且椭圆上的点到点的距离的最小值为.点M、N是椭圆上位于轴上方的两点，且向量与向量平行.

（1）求椭圆的方程；

（2）当时，求△的面积；

（3）当时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据椭圆的简单性质可得，解得即可，

（2）可设，，根据向量的数量积求出点的坐标，再根据直线平行，求出的坐标，

利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式和三角形的面积公式计算即可，

（3）向量与向量平行，不妨设，设，，，，根据坐标之间的关系，求得的坐标，再根据向量的模，即可求出的值，根据斜率公式求出直线的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线方程．

解：（1）点、分别是椭圆的左、右焦点，

，，

椭圆上的点到点的距离的最小值为，

，

解得，

椭圆的方程为，

（2）由（1）可得，，

点、是椭圆上位于轴上方的两点，

可设，，

，，，，

，

，

解得，，

，

，

，

向量与向量平行，

直线的斜率为，

直线方程为，

联立方程组，解得，（舍去），或，，

，，

，

点到直线直线的距离为，

的面积，

（3）向量与向量平行，

，

，

，即，

设，，，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

解得，或（舍去）

，

，

，

，

直线的方程为，

即为