Question

已知函数f（x）=2^2x-

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•2^x+1+a，当x∈[0，3]时，f（x）的最大值和最小是之和为

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．
（1）求实数a的值；
（2）若x∈[0，3]时，f（x）-m2^x+6≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法求出元的范围，通过二次函数闭区间上的最值，求实数a的值；
（2）通过x∈[0，3]时，f（x）-m2^x+6≥0恒成立，转化为m的不等式，求出函数的最值即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=（2^x）²-5•2^x+a，1≤x≤8，
令t=2^x，∵x∈[0，3]，∴1≤t≤8    （2分）
所以有：h（t）=t²-5t+a=（t-

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）²+a-

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，（1≤t≤8）
所以：当t∈[1，

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]时，h（t）是减函数；当t∈(

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，8]时，h（t）是增函数；（4分）
∴f(x)min=h(

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)=a-

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，
f（x）_max=h（8）=a+24．
解得a=-6；（6分）
（2）由（1）得f(x)=22x-

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•2x+1-6f（x）+6-m2^x≥0恒成立．
即22x-

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•2x+1-m2x≥0恒成立2^x-5-m≥0恒成立，即m≤2^x-5恒成立，（9分）
x∈[0，3]时，2^x-5的最小值为-4
所以：m≤-4．（12分）

点评：本题考查换元法的应用，二次函数闭区间的最值，函数的恒成立的应用，考查转化思想以及计算能力．