Question

【题目】如图在三棱锥，，，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）取中点，利用线面垂直的判定定理，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面；

（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．

（1）由题意，取中点，连结，，

在中，，，所以，

又由，且，可得，所以，

在中，因为，

可得，所以，

又由，所以平面，

又因为平面，所以平面平面．

（2）因为，过作的平行线，则，，两两垂直，

分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，

可得，

设平面的法向量，则，

令，则，，即，

因为面，所以平面的法向量为．

所以，

由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．